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《朋友记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。

《朋友记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。

生涯中处处充满数学，比如在经典好意思剧《朋友记》中，罗斯要搬家，却在和瑞秋抬沙发上楼梯扶手时翻了车。这触及了数学范围一个著明的未处置难题 —— 出动沙提问题（the moving sofa problem）。

起原：《朋友记 S05E16》

该问题是由加拿大数学家 Leo Moser 于 1966 年崇拜提议：在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，概况通过一个直角转弯的「沙发」的最大面积是些许？

1968 年，数学家 John Michael Hammersley 提议了一种通俗的解法。他将沙发假想成相似于一个电话听筒的姿色，由两个四分之一圆和一个中间的矩形块组成，中间的矩形块中挖去了一个半圆形，从而得出的沙发最大面积为 2.2074。

但缺憾的是，这并不是最优解。

1992 年，好意思国数学家 Gerver 在 Hammersley 沙发的基础上进行了校正，算出的最大沙发面积为 2.2195，天然比 Hammersley 沙发面积略大一些，但在门径上却智谋得多。

Gerver 沙发由 18 条不同的弧线段组成，其中包括圆弧、圆的渐开线以及圆的渐开线的渐开线等多种弧线。每条弧线段齐由一个单独的认识抒发式描画，这使得 Gerver 沙发在数学上十分复杂。

Gerver 推测他的处置有筹画是最优的，但他无法讲解他的沙发是独逐个个（况且是最大面积的）得志这个强要求的沙发。

2024 年 12 月 2 日，韩国粹者 Jineon Baek 发表了一篇新论文，宣称讲解了 Gerver 照实是正确的 —— 他的沙发是最优的。这项估量在外交媒体（如 x）上的热度十分高，引起了好多东谈主的关爱。

图源：x@Scientific_Bird

图源：x@morallawwithin

不外，Jineon Baek 的讲解论文足足有 119 页，题目为《Optimality of Gerver’s Sofa》。关系大师考据讲解的正确性还需要一些时代。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

这谈困扰东谈主类 58 年的数学难题终于有了谜底，不少网友也发表了我方的宗旨。

「我以致不是数学家，自从 20 年前外传这个问题后，我就一直在念念考它。每次我需要把东西通过门时，我齐会猜想这个问题。」

「我没猜想这个姿色会是最优的，这 18 个部分看起来不够优雅。」

讲解经过简述

论文共分 8 章，目次如下：

摘录只消一句话，「通过讲解具有 18 个弧线段的 Gerver 沙发确凿达到了最大面积 2.2195，进而处置了出动沙提问题」。

下图为 Gerver 的沙发 G。刻度默示组成 G 领域的 18 条认识弧线和线段的端点，包含 G 的撑捏走廊 L_t 在右侧以灰色默示。

在讲解 Gerver 的沙发 G 达到最大面积的经过中，作家除了在科学谋略器上进行数值谋略以外，莫得使用任何的谋略机援助。下图 1.3 为从走廊（顶部）和沙发（底部）视角来看出动沙发的出动。

底下为作家要讲解的定理 1.1.1。

这个问题之是以很难，是因为莫得一个通用的公式不错谋略总共可能的出动沙发面积。因此，为了处置这个问题，作家讲解了最大面积的出动沙发 S_max 的一个属性，被称为可注入性要求（injectivity condition）。

对于每个得志要求的出动沙发 S，作家将界说一个更大的姿色 R，它相似于 Gerver 沙发的姿色（下图 1.2）。那么 R 的面积 Q (S) 即是 S 面积的上限，如若是 Gerver 沙发 G，则 Q (S) 与 S 的精准面积相匹配。S 的可注入性要求确保区域 R 的领域酿成 Jordan 弧线，从而概况使用格林定理谋略 Q (S)。

然后，出动沙发 S 面积的上界 Q (S) 相对于 S 的最大值如下所示：作家使用 Brunn-Minkowski 表面将 Q 默示为凸体元组 (K,B,D) 空间 L 上的二次函数（上图 1.2），并使用 Mamikon 定理拓荒 Q 在 L 上的全局凹性（下图 1.13）。

作家使用加州大学戴维斯分校数学系素质 Dan Romik [Rom18] 对于 Gerver 沙发 G 的局部最优方程，来讲解 S = G 局部最大化 Q (S)。由于 Q 是凹的，因此 G 也全局最大化 Q。况且，由于上界 Q 与 G 处的面积相匹配，因此沙发 G 也全局最大化了面积，从而讲解定理 1.1.1。

具体来讲，定理 1.1.1 的完好讲解分为以下三个主要要领：

作家提供了要领 1、2、3 的更细分要领。

其中要领 1-(a) 将 S_max 的可能姿色减轻为单调沙发（monotone sofa），即由撑捏走廊内角雕琢出的凹痕的凸体（下图 1.4）。

要领 1-(b) 再行讲解了 Gerver 的一个紧迫局部最优要求，即 S_max 的边长应该相互均衡（定理 1.3.1）。

由于 Gerver 的原始讲解存在逻辑马虎，莫得处置出动沙发的连通性问题，因此作家引入了新的想法并再行进行了讲解。要领 1-(c) 使用前边的要领和基本几何来标明 S_max 在出动经过中旋转了整整一个直角。

要领 2 讲解了 S_max 上的可注入性要求，这是之后拓荒上限 Q 的重要。它标明 L 内角 (0,0) 的轨迹在出动沙发的视角（参考系）中不会酿成自环（下图 1.9）。

为了讲解 S_max 的这一要求，作家在 S_max 上拓荒了一个新的微分不等式（等式 (1.9)。该不等式受到了 Romik 的一个 ODE 的启发，该 ODE 均衡了 Gerver 沙发的微分边（等式 (1.8)）。

要领 3-(a) 将总共出动沙发的空间 S 膨大为具有单射要求的凸体元组 (K,B,D) 的蚁合 L，使得每个 S 逐个映射到 (K,B,D) ∈ L（但不一定到 L）。该凸体描画了包围 S 的区域 R 的不同部分（上图 1.2）。

要领 3-(b) 界说了膨大域 L 上的上界 Q。作家驯服 R 的领域，并使用格林定理和 Brunn-Minkowski 表面中对于 K、B 和 D 的二次面积抒发式来默示其面积 Q。同期使用单射要求和 Jordan 弧线定理严格讲解 Q (K,B,D) 是 S 面积的上界。

要领 3-(c) 使用 Mamikon 定理细目 Q 在 L 上的凹度（上图 1.13）。要领 3-(d) 谋略由 Gerver 沙发 G 产生的凸体 (K,B,D) ∈ L 处 Q 的宗旨导数。Romik [Rom18] 在 G 上的局部最优 ODE 用于标明宗旨导数长久为非刚巧。这意味着 G 是 Q 在 L 中的局部最优值。Q 在 L 上的凹度意味着 G 亦然 Q 在 L 中的全局最优值。由于 G 处 Q 的值与面积匹配，沙发 G 也全局最大化了面积，最终完成定理 1.1.1 的讲解。

更具体的讲解细节请参考原论文。

作家先容

这篇论文的作家 Jineon Baek，本科毕业于韩国浦项科技大学，博士本事就读于好意思国密歇根大学安娜堡分校。现为韩国首尔延世大学的博士后估量员，导师是 Joonkyung Lee。

Jineon Baek2018 年磨真金不怕火对于非对角线 Erdős-Szekeres 凸多边形问题视频截图

他主要估量酷好是组合数学和几何学中的优化问题，这类问题往往通过通俗却道理的表述，概况诱导更平素的受众。

他在东谈主工智能范围也发表过一些关系著作。他在医学图像处理、栽种数据挖掘等范围发表了多篇会议和期刊论文，高出是在 X 射线 CT 图像去噪、测验分数预计、范例化测验准备保举系统等方面有所孝顺。

查阅 Jineon Baek 发表过的著作，就会发现这也曾不是他第一次估量出动沙提问题了。在本年 6 月他就出动沙发的上限问题进行了估量。在新著作发布的 12 月 2 日今日，arxiv 上表露，这篇论文提交了一个更新版块（v2），之后撤离了该版块。

咫尺，不少网友在网上推敲《Optimality of Gerver's Sofa》。

「十分直不雅，恰是大大宗东谈主会预计的那样。不外，我猜讲解这小数要艰贵重多吧？」

「在施行生涯中，谜底取决于天花板的高度以及沙发是否带有可歪斜的靠背。」

「对于沙发来说，这的确是一个灾祸的假想。」

你怎样看这个出动沙发的最优解呢？

参考聚首：

https://x.com/deedydas/status/1865060166322032764

https://x.com/Scientific_Bird/status/1865116279574528088

https://jcpaik.github.io/CV.pdf欧洲杯体育